2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第3课时)word教案

2019-2020 年高中数学北师大版选修 2-2 第 3 章《导数的实际应用》
(第 3 课时)word 教案
一、教学目标: 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问 题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常 称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力 工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. (二)、新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题, 主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立 适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境, 即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案, 使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:

建立数学模型
优化问题

用函数表示的数学问题

作答
优化问题的答案

解决数学模型
用导数解决数学问题

(三)、典例分析

例 1、磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统

将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同

心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化

与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。

为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁

道长度不得小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同

的比特数。

问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环

形区域.

(1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?(2)r 为多少时,磁盘具有最大

存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最 外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达 R ? r 。由于每条磁道上的比特
m 数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可
达 2? r 。所以,磁盘总存储量 n f (r) ? R ? r × 2? r ? 2? r(R ? r) m n mn (1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,

磁盘的存储量越大.
(2)为求 f (r) 的最大值,计算 f ?(r) ? 0 . f ?(r) ? 2? ? R ? 2r ?
mn

令 f ?(r) ? 0 ,解得 r ? R 当 r ? R 时, f ?(r) ? 0 ;当 r ? R 时, f ?(r) ? 0 .

2

2

2

因此 r ? R 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2? R2

2

mn 4

例 2、汽油的使用效率何时最高

我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之

间有一定的关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思

考下面两个问题:

(1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大?

(2)“汽油的使用率最高”的含义是什么?

分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶 路程的比值.如果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 G ? w ,其中, w 表
s 示汽油消耗量(单位:L), s 表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千

米路程的汽油消耗量最少”,就是求 G 的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶

过程中,汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶

的平均速度 v (单位:km/h)之间有如图所示的函数关系 g ? f ?v? .

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问

题转化为汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶

的平均速度 v (单位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解

决汽油使用效率最高的问题.

解:因为

w

G?w? s

t s

?

g v

t

这样,问题就转化为求 g 的最小值.从图象上看, g 表示经过原点与曲线

v

v

上点的直线的斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点

处速度约为 90 km / h .

因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽

油消耗量最小,此时的车速约为 90 km / h .从数值上看,每千米的耗油量就是图

中切线的斜率,即 f ??90? ,约为

L.

例 3、在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数同,记为 C(x),出 售 x 单位产品的收益称为收益函数,记为 R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。
(1)、如果 C(x)=10?6 x3 ? 0.003x2 ? 5x ?1000,那么生产多少单位产品时,

边际 C?(x) 最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)

(2)、如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P=100-0.01x,那么怎样定价, 可使利润最大?
变式:已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p ? 25 ? 1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大?
8 分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可 得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.

解:收入

R

?

q

?

p

?

q

? ??

25

?

1 8

q

? ??

?

25q

?

1 8

q

2



利润

L

?

R

?C

?

? ??

25q

?

1 8

q2

? ??

? (100

?

4q)

?

?

1 8

q2 21q

?100

(0

?

q

? 100)

L? ? ? 1 q ? 21 4



L?

?

0

,即

?

1

q

?

21

?

0

,求得唯一的极值点

q

?

84

新疆 王新敞

奎屯

4

答:产量为

84

时,利润

L

最大 新疆 王新敞

奎屯

(四)、课堂练习:在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,

乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D

与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的

水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费

用最省?

解析 根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费

最省,设 C 点距 D 点 x km,则∵BD=40,AC=50-x, ∴BC=

又设总的水管费用为 y 元,依题意有

y=30(5a-

x)+5a

(0<x<50)

y′=-3a+

,令 y′=0,解得 x=30 在(0,50)上,y 只有一个极值点,

根据实际问题的意义,

函数在 x=30(km)处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km)∴供水站建在 A、

D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省

(五).回顾总结:1.利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学

模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过

程中,导数往往是一个有利的工具。

(六).布置作业:1、一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次 订货,如果每次订货要付手续费 30 元,每千册书存放一年要耗库费 40 元,并假 设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费

与库存费之和最少?

【解】假设每次进书 x 千册,手续费与库存费之和为 y 元,由于该书均匀

投放市场,则平均库存量为批量之半,即

,故有 y =

×30+

×40,y′=-

+20,

令 y′=0,得 x =15,且 y″=

,f″(15)>0,所以当 x =15 时,

y 取得极小值,且极小值唯一,故 当 x =15 时,y 取得最小值,此时进货次数



=10(次).

即该书店分 10 次进货,每次进 15000 册书,所付手续费与库存费之和最少. 2、有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸 40 千米,乙城到岸 的垂足与甲城相距 50 千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙 城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元,问水厂应设在河边的何处,才能使 水管费用最省? 【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米,总费用为 y 元,

则 CD =

.y =500(50-x)+700

=25000-

500 x +700



y′=-500+700 ·

(x 2+1600)

·2 x=-500+

,令 y′=0,解得 x =

.答:水厂距甲距离为 50-

千米时,总费用最省.
【点评】当要求的最大(小)值的变量 y 与几个变量相关时,我们总是先 设几个变量中的一个为 x,然后再根据条件 x 来表示其他变量,并写出 y 的函数 表达式 f(x).
五、教后反思:


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