惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题文科卷试题

惠 州 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 数 学 试 题
(文科卷) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 l0 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题 5 分,满分 50 分. 1.设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是( A.1 B.3 C.4 D.8 ) 。 ) 。

2.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.-2 B.1 C.2 D.1 或 -2 ) 。

3. 已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于( A.18 B.27 C.36 D.45

4.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示, 则它的体积的最小值与最大值分别为( A. 9 与 13 B. 7 与 10 ) 。 C. 10 与 16 D. 10 与 15
主视图 俯视图

5.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f (1) = -2 f (1.375) = -0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054 ) 。

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 6.“m= B.1.3 C.1.4

D.1.5 ) 。

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C..必要而不充分条件

7.下图是 2007 年在广州举行的全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶 统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4 ) 。

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
8.定义运算 a ? b= ?

?a(a ? b) x ,则函数 f(x)=1 ? 2 的图象是( ?b(a ? b)

) 。

y 1

y

y

y 1

1 o
A
2

1 x o
C

x

o
B

x

o
x D ) 。

x

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 9.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2

A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4 10.已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f (x)又是减函数,且 f (a-3)+f (9-a2)<0,则 a 的取值范围是 ( ) 。 A.(2 2 ,3) B.(3, 10 ) C.(2 2 ,4) D.(-2,3)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共5小题,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前 一题得分.每小题5分,满分20分. 11.右面是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 5 时, 则其输出的结果是 .

12.下图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影 部分的面积为 .

13.设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) , 则 cos ? ? .

?

?

?

?

?

14.(坐标系与参数方程选做题)直线 ? 长为 .

? x ? ?2 ? t 2 2 (t为参数) 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 所截得的弦 ? y ? 1? t

15.(几何证明选讲选做题)如图,已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B 两点,割线 PCD 经过圆心, 若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为_______________.

三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 将 A、B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (I)共有多少种不同的结果? (II)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是多少?

17.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0,

? ?? 的值域. ? 2? ?

18. (本小题满分 14 分) 如图,P—ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A B1C1D1 是正方体, 1 其中 AB ? 2, PA ? 6
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(1)求证: PA ? B1D1 ; (2)求 PA 与平面 BDD1B1 所成角 ? 的余弦值;

19. (本小题满分 14 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (I)求{an}的通项公式; (II)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数 列,求 Tn

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (I)求 f (x) 、 g (x) 的表达式; (II)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (III)当 b ? ?1 时,若 f ( x ) ? 2bx ?

1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

惠 州 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 数 学 试 题
参考答案(文科卷) 一、选择题
题号 答案

1

2
A

3 C

4

5 C

6
B

7
C

8
A

9
D

10
A

C

C

1.C 解: A ? {1, 2}, A ? B ? {1, 2,3} ,则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A ? {1, 2} 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 2 ? 4 个。故选择答案 C。
2

?a 2 ? a ? 2 ? 0 ? 2.A 解: ? 2 ?a ? 3a ? 2 ? 0 ?

即 a ? ?2 ,故选择答案 A
9(a1 ? a9 ) =36, 2

3.C 解:在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴ a1 ? a9 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9=

故选择答案 C 4.C 提示:由三视图可知选 C 5.C 解:f(1.40625)=-0.054< 0,f(1.4375)=0.162> 0 且都接近 0,由二分法可知其根近似于 1.4。 6.B 解:当 m ?

1 时两直线斜率乘积为 ?1 ,从而可得两直线垂直,当 m ? ?2 时两直线一条斜率为 2 1 0,一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 m ? 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必 2
要条件.

7.C 解:5 个有效分为 84,84,86,84,87;其平均数为 85。利用方差公式可得方差为 1.6. 8.A 提示:信息迁移题是近几年来出现的一种新题型,主要考查学生的阅读理解能力.本题综合 考查了分段函数的概念、函数的性质、函数图像,以及数学阅读理解能力和信息迁移能力. 当 x<0 时,2x<1, f(x) =2x; x>0 时,2x>1, f(x) =1. 答案:A 9.D 解:椭圆 D。 10.A 提示

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 ,故选 6 2

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?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? 由条件得 f(a-3)<f(a -9),即 ?? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9
2

∴ (2 2 ,3) 故选择答案 A a∈
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二.填空题:

题号

11

12

13

14

15

答案

2

23 5

3 10 10

82

2

11.解:当 x=-1 时,即输出,此时 y ? 0.5?1 ? 2 .
138 23 ?5? 2 ? 。 300 5 ? ? ? ? ? ? 13. 解 : 设 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 且 a ? (3,3),2b ? a ? (?1,1) ∴ b ? (1,2) , 则

12.解:解利用几何概型

? ? a ?b 9 3 10 c o ?s ? ? ? ? = . 10 a ?b 3 2? 5
14. 解:把直线 ?

? x ? ?2 ? t 代入 ? y ? 1? t

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
15. 解:设圆的半径为 R,由 PA ? PB ? PC ? PD 得 3 ? (3 ? 4) ? (5 ? R)(5 ? R) 解得 R=2 三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.解: (I) 共有 6 ? 6 ? 36 种结果 ??????4 分 (II) 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果有: (1,2)(2,1)(1,5)(5,1)(2,4)(4,2) , , , , , , (3,3)(4,5)(5,4)(3,6)(6,3)(6,6) , , , , , 共 12 种. ??????8 分 (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= 17.解: f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x

12 1 ? 36 3

????12 分

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2 1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? 3 2 2? ?? (I)函数 f (x) 的最小正周期是 T ? 2 ? ? 3?
(II)∴ 0 ? x ?

???????????3 分

???????????6 分 ???????????8 分

?

2



?

3

? 2x ?

?

3

?

4? 3

???????????10 分

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3 ? 2? 3? 所以 f (x) 的值域为: ?? 3 , ? 2 ? ?


?

????12 分 ????14 分

18、解: (1)设 AC 与 BD 交点为 O,连 PO;∵P—ABCD 是正四棱锥,∴PO⊥面 ABCD,?1 分 ∴AO 为 PA 在平面 ABCD 上的射影, 又 ABCD 为正方形,∴AO⊥BD,????3 分 由三垂线定理知 PA⊥BD,而 BD∥B1D1;∴ PA ? B1D1 ??????????6 分 (2)∵AO⊥面 PBD,连 PO,则∠APO 为所求角;???????????8 分 可以计算得, cos ? ?

6 ??????????????????????14 分 3
??????1 分 ??????3 分 ??4 分

19. (I)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn ?1 ? 1? n ? 2? , 两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2?

又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ,故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 .

?????????????????????6 分 ???8 分

(II)设{bn}的公差为 d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得
2 ?5 ? d ?1??5 ? d ? 9? ? ?5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? ?10

??????9 分

????????????11 分 ??????????12 分

∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
n ? n ? 1? 2 ? 2 ? n2 ? 2n

???????????????????14 分

20. 解(Ⅰ 当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 )①

? ?

?1,? 3 ?,其距离为 2
即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

3 ,满足题意???????? 2 分

② 若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? , ???????????????????? 3 分

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ∴1 ?

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 , 4
??????????????5 分

故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0

综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (Ⅱ )设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? , Q 点坐标为 ? x, y ? 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? ∵OQ ? OM ? ON , ∴? x, y ? ? ? x0 , 2 y0 ? 即 x0 ? x ,
2

???????? 6 分

???????? 7 分

??? ?

???? ???? ?

y0 ?

y 2

????????9 分

2 2 又∵x0 ? y0 ? 4 ,∴x ?

y2 ? 4 ??????????? 4

10 分

由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ? 0 ,??????????? 11 分

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) ,???????? 12 分 ∴Q 点的轨迹方程是 16 4
轨迹是焦点坐标为 F (0, ?2 3), F2 (0,2 3) ,长轴为 8 的椭圆,并去掉 (?2, 0) 两 1 点。???????? 14 分 21.解: (I) f ?( x) ? 2x ?

a , 依题意 f ?( x) ? 0 , x ? (1,2] ,即 a ? 2x 2 , x ? (1,2] . x

∵上式恒成立,∴ a ? 2 ① ??????????1 分 a 又 g ?( x) ? 1 ? ,依题意 g ?( x) ? 0, x ? (0,1) ,即 a ? 2 x , x ? (0,1) . 2 x ∵上式恒成立,∴ a ? 2 . 由①②得 a ? 2 . ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x . ② ??????????2 分 ??????????3 分 ??????????4 分

(II)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 , 即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 , 则h ?( x) ? 2 x ?

2 1 ?1? , x x
????????5 分

令 h?( x) ? 0 ,并由 x ? 0, 得 ( x ? 1)(2x x ? 2 x ? x ? 2) ? 0, 解知 x ? 1. 令 h ?( x) ? 0, 由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1. 列表分析:

??????????6 分

x
h?(x) h(x)

(0,1) 递减

1 0 0

(1,+?) + 递增 ??????????7 分

知 h(x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0, 当 x ? 0且x ? 1 时, h(x) >0,

∴ h( x) ? 0 在(0,+?)上只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解. (III)设 ? ( x) ? x ? 2 ln x ? 2bx ?
2

??????????8 分

1 2 2 则? ' ( x) ? 2 x ? ? 2b ? 3 ? 0 , ????????9 分 2 x x x
?????11 分

?? ( x) 在 (0,1] 为减函数?? ( x)min ? ? (1) ? 1 ? 2b ? 1 ? 0 又 b ? ?1
所以: ? 1 ? b ? 1 为所求范围.

??????????12 分


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