(湖北专用)高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.6数系的扩充与复数的引入教

12.6 数系的扩充与复数的引入 考纲要求 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. ? ____,实际上前者是后者的真子集. 1.数系扩充的脉络是:________→________→______,用集合符号表示为____ ? ____ 2.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的____和____.若______,则 a+bi 为实数;若______,则 a+bi 为虚数;若__________,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?__________(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?__________(a,b,c,d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,______叫做实轴,______叫做虚轴.实 轴上的点表示______;除原点外,虚轴上的点都表示__________;各象限内的点都表示非纯 虚数. 复数集 C 和复平面内__________组成的集合是一一对应的, 复数集 C 与复平面内所有 以______为起点的向量组成的集合也是一一对应的. (5)复数的模 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模, 记作______或__________, 其中|z|=|a+bi| =____________. 3.复数的几何意义 uuu r 4.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=____________; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=____________; ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=____________; z1 a+bi (a+bi)(c-di) ④除法: = = =______________(c+di≠0). z2 c+di (c+di)(c-di) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=________,(z1 +z2)+z3=____________. 1.下列命题中,正确命题的个数是( ). ①若 x,y∈C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1;②若 a,b∈R 且 a>b,则 a+i 2 2 >b+i;③若 x +y =0,则 x=y=0. A.0 B.1 C. 2 D.3 2.(2012 安徽高考)复数 z 满足(z-i)i=2+i,则 z=( ). A.-1-i B.1-i C.-1+3i D.1-2i -3+i 3.(2012 课标全国高考)复数 z= 的共轭复数是( ). 2+i A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i 2 4.(2012 上海高考)若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个复数根,则 ( ). A.b=2,c=3 B.b=2,c=-1 C.b=-2,c=-1 D.b=-2,c=3 2 3 4 5.(2012 湖北荆州高中毕业班质量检查)设 i 为虚数单位,则 1-i+i -i +i -…+ 20 i =__________. 一、复数的分类 m(m-2) 2 +(m +2m-3)i,当 m 为何值时,(1)z∈R;(2)z m-1 是纯虚数;(3)z 对应的点位于复平面的第二象限;(4)z 对应的点在直线 x+y+3=0 上. 【例 1】已知 m∈R,复数 z= 方法提炼 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证含参数 的式子有意义,忽略这一要求会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是 “交”,非常关键.因此,解答后进行验算是很有必要的. 2.对于复数 z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数 z 看成一个整 体, 又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它, 这是解复数问题的重要思路之一. 请做演练巩固提升 1 二、复数的代数运算 3+i 【例 2-1】(2012 浙江高考)已知 i 是虚数单位,则 =( ). 1-i A.1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i 【例 2-2】 (2012 山东高考)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( ). A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 方法提炼 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分 母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度 1+i 1-i a+bi 2 4n 4n + 1 (1)(1±i) =±2i;(2) =i;(3) =-i;(4) =b-ai;(5)i =1,i 1-i 1+i i 4n+2 4n+3 =i,i =-1,i =-i(n∈N). 请做演练巩固提升 2,3 三、复数的几何意义 10i 【例 3】 (2012 北京高考)在复平面内,复数 对应的点的坐标为( ). 3+ i A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1) 方法提炼 复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关,实数、纯虚数的对应点分别在实 轴和虚轴上.若实部为正且虚部为正,则复数对应点在第一象限;若实部为负且虚部为正, 则复数对应点在第二象限;若实部为负且虚部为负,则复数对应点在第三象限;若实部为正 且虚部为负,则复数对应点在第四象限.此外,若复数的对应点在某些曲线上,还可写出代 数形式的一般表达式.如:若复数 z 的对应点在直线 x=1 上,则 z=1+bi(b∈R);若复数 z 的对应点在直线 y=x 上,则 z=

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