福建省厦门双十中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

福建省厦门双十中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文 科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a+c≥b﹣c B.ac>bc C. >0 D.(a﹣b)c ≥0
2

2. (3 分)设{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an}前 8 项的和为() A.128 B.80 C.64 D.56 3. (3 分)若条件 p:A=30°,条件 q:sinA= ,则 p 是 q() A.充分但不必要条件 C. 充要条件 B. 必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (3 分)设△ ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠C=45°,则 R=() A. B. C. D. 5. (3 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn,若 T5=1,则必有() A.a1=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1 6. (3 分)不等式 x ﹣2x+5≥a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.[﹣1,4] B.(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) C. (﹣∞,﹣1]∪[4, +∞) D. [﹣2,5] 7. (3 分)已知 x>0,y>0 且 x+y=1 则 A.6 B.12 的最小值为() C.25 D.36
2 2

8. (3 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

9. (3 分)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 的形状为() A.等腰三角形

=cosA+cosB,则△ ABC

B.直角三角形

C.等边三角形

D.不能确定

10. (3 分)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N+(m,n∈N+)且对任意 m,n∈N+都有 ①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=3f(m,1) ,则 f(4,5)的值为() A.33 B.35 C.87 D.89

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 2 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置 11. (2 分)命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是. 12. (2 分)在△ ABC 中,若 sinA= ,∠C=150°,BC=1,则 AB=.
3 2

13. (2 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值是.

14. (4 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n,若 5<ak<8,则 k=. 15. (2 分)已知关于 x 的不等式 x +ax+b>0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣ ,+∞) ,则关于 x 的不等式 bx +ax+1<0 的解集是.
2 2

2

16. (4 分) 已知函数 f (n) =

, 且 an=f (n) +f (n+1) , 则 a1+a2+a3+…+a2014=.

三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=5,S9=99. (1)求 an 及 Sn; (2)若数列{bn}满足 bn= ,n∈N ,证明数列{bn}的前 n 项和 Tn 满足 Tn<1.
*

18. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x+a, (1)当 a=2 时,求关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集; (2)求关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集.

2

19. (12 分)在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出了他们的工资标准:A 公司允 诺第一年年薪为 16 万元,以后每年年薪比上一年年薪增加 2 万元;B 公司允诺第一年年薪为 20 万元,以后每年年薪在上一年的年薪基础上递增 5%,设某人年初被 A、B 两家公司同时录 取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的年薪收入分别是多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其 他因素) , 该人应该选择哪家公司, 为什么? (参考数据: 1.05 ≈1055, 1.05 ≈1.63, 1.05 ≈1.71) 20. (12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c(1+cosA)= (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求△ ABC 的周长. 21. (12 分)为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图,要求 ∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米 (1)当 BC 长度为 2 米时,AC 为多少米? (2)为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 BC 长度为多少米时,AC 长度最短,最 短为多少米?
9 10 11

22. (14 分)已知数列{an}的首项 (1)求证:数列 (2)记





为等比数列; ,若 Sn<100,求最大的正整数 n.

(3)是否存在互不相等的正整数 m,s,n,使 m,s,n 成等差数列且 am﹣1,as﹣1,an﹣1 成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

福建省厦门双十中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a+c≥b﹣c B.ac>bc C. >0 D.(a﹣b)c ≥0
2

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: A、令 a=﹣1,b=﹣2,c=﹣3,计算出 a+c 与 b﹣c 的值,显然不成立; B、当 c=0 时,显然不成立; C、当 c=0 时,显然不成立; 2 D、由 a 大于 b,得到 a﹣b 大于 0,而 c 为非负数,即可判断此选项一定成立. 解答: 解:A、当 a=﹣1,b=﹣2,c=﹣3 时,a+c=﹣4,b﹣c=1,显然不成立,本选项不一 定成立; B、c=0 时,ac=bc,本选项不一定成立; C、c=0 时, =0,本选项不一定成立;
2

D、∵a﹣b>0,∴(a﹣b) >0, 2 2 又 c ≥0,∴(a﹣b) c≥0,本选项一定成立, 故选 D 点评: 此题考查了不等式的性质,利用了反例的方法,是一道基本题型. 2. (3 分)设{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an}前 8 项的和为() A.128 B.80 C.64 D.56 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程组,求出 a1,d,代 入等差数列的前 n 项和公式即可求解. 或利用等差数列的前 n 项和公式, 结合等差数列的性质 a2+a7=a1+a8 求解. 解答: 解:解法 1:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由等差数列的通项公式以及已知条件得 ,

解得

,故 s8=8+

=64.

解法 2:∵a2+a7=a1+a8=16, ∴s8= ×8=64.

故选 C. 点评: 解法 1 用到了基本量 a1 与 d,还用到了方程思想; 解法 2 应用了等差数列的性质: {an}为等差数列, 当 m+n=p+q (m, n, p, q∈N+) 时, am+an=ap+aq. 特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N+) ,则 am+an=2ap. 3. (3 分)若条件 p:A=30°,条件 q:sinA= ,则 p 是 q() A.充分但不必要条件 C. 充要条件 B. 必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 根据特殊角的三角函数值,可得充分性成立;根据三角函数图象与性质,可得必要 性不成立.因此得到条件 p 是条件 q 的充分不必要条件,可得本题答案. 解答: 解:先看充分性 若条件 p:“A=30°”成立,则可得 sinA=sin30°= , 条件 q 成立,故充分性正确; 再看必要性 若条件 q:“sinA= ”成立,可得 A=30°+k?360°或 A=150°+k?360°(k∈Z) 由此可得条件 p:“A=30°”不一定成立,故必要性不正确. 综上所述,可得条件 p 是条件 q 的充分但不必要条件. 故选:A 点评: 本题以充分必要条件的判断为载体,考查了特殊三角函数的值和三角函数的图象与 性质等知识,属于基础题. 4. (3 分)设△ ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠C=45°,则 R=() A. B. C. D. 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由已知 c 及 sinC 的值,利用正弦定理列出关于 R 的方程,求出方程的解即可得到三 角形外接圆的半径 R. 解答: 解:∵AB=c=4,∠C=45°, ∴由正弦定理 R= = =2R 得: =2 .

故选 D 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

5. (3 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn,若 T5=1,则必有() A.a1=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 5 分析: 根据等比数列的性质可得 a1?a2?a3?a4?a5=a3 =1,所以 a3=1. 解答: 解:由题意可得:T5=a1?a2?a3?a4?a5=1, 5 根据等比数列的性质可得 a1?a2?a3?a4?a5=a3 =1, 所以 a3=1. 故选 B. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的性质, 即在等比数列{an}中, 若 m+n=k+l, 则 am?an=ak?al. 6. (3 分)不等式 x ﹣2x+5≥a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.[﹣1,4] B.(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) C. (﹣∞,﹣1]∪[4, +∞) D. [﹣2,5] 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 将问题转化为 a ﹣3a≤4,解出即可. 2 2 解答: 解:令 f(x)=x ﹣2x+5=(x﹣1) +4, ∴f(x)最小值=4, 2 2 若不等式 x ﹣2x+5≥a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立, 2 只需 a ﹣3a≤4,解得:﹣1≤a≤4, 故选:A. 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了转化思想,是一道基础题.
2 2

7. (3 分)已知 x>0,y>0 且 x+y=1 则 A.6 B.12

的最小值为() C.25 D.36

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 转化思想;不等式的解法及应用. 分析: 将 转化成( ) (x+y) ,然后化简整理后利用基本不等式即可求出最小值,

注意等号成立的条件. 解答: 解:∵x>0,y>0 且 x+y=1, ∴ =( = ) (x+y)=4+9+ + ≥13+2 =25,

当且仅当 ∴

,x+y=1 即 x= ,y= 时取等号,

的最小值为 25.

故选 C.

点评: 本题考查基本不等式,着重考查整体代换的思想,易错点在于应用基本不等式时需 注意“一正二定三等”三个条件缺一不可,属于基础题.

8. (3 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义. 9. (3 分)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 的形状为() A.等腰三角形 =cosA+cosB,则△ ABC

B.直角三角形

C.等边三角形

D.不能确定

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 2 2 2 2 2 2 分析: 把余弦定理代入已知条件,化简可得 2abc=c(c ﹣a ﹣b +2ab) ,故有 c =a +b ,由 此即可判断△ ABC 的形状. 解答: 解:已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 =cosA+cosB,且由

余弦定理可得 cosA=

,cosB=




2

=
2 2

+
2 2

=

, 化简可得 2abc=c (c

2

﹣a ﹣b +2ab) ,∴c =a +b , 故三角形为直角三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,判断三角形的形状,式子的变形,是解题的关键, 属于中档题. 10. (3 分)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N+(m,n∈N+)且对任意 m,n∈N+都有 ①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=3f(m,1) ,则 f(4,5)的值为() A.33 B.35 C.87 D.89 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,连续应用 f(m,n+1)=f(m,n)+2,f(m+1,1)=3f(m,1) ,从而求 解. 解答: 解:由题意可知, f(4,5)=f(4,4)+2 =f(4,3)+2+2 =f(4,2)+2+2+2 =f(4,1)+2+2+2+2 =f(4,1)+8 =3f(3,1)+8 =9f(2,1)+8 =27f(1,1)+8 =27+8=35. 故选 B. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受与转化能力,属于中档题. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 2 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置 3 2 3 2 11. (2 分)命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是存在 x∈R,x ﹣x +1>0. 考点: 命题的否定.

专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题, 3 2 3 2 所以命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是:存在 x∈R,x ﹣x +1>0. 3 2 故答案为:存在 x∈R,x ﹣x +1>0. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系. 12. ( 2 分)在△ ABC 中,若 sinA=

,∠C=150°,BC=1,则 AB=



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 C 的度数求出 sinC 的值, 再有 sinA 及 BC 的长, 利用正弦定理即可求出 AB 的长. 解答: 解:∵sinA= ,∠C=150°,BC=1,

∴由正弦定理

=

得:AB=

=

=



故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.

13. (2 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值是 5.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=x+y 为 y=﹣x+z,由图可知,当直线 y=﹣x+z 过 B 时,直线在 y 轴上的截距最 大,z 最大. 联立 ,解得 B(2,3) .

∴zmax=2+3=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 14. (4 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n,若 5<ak<8,则 k=8. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由通项公式和求和公式的关系可得 an=2n﹣10,由题意可得 k 的不等式组,解不等式 取适合的整数即可. 解答: 解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n, 2 2 ∴an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣9n﹣(n﹣1) +9(n﹣1)=2n﹣10, 2 当 n=1 时,a1=S1=1 ﹣9=﹣8 也适合上式, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n﹣10, 由 5<ak<8 可得 5<2k﹣10<8, 解得 <k<9,又 k∈Z,
2 2

∴k=8 故答案为:8 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.
2

15. (2 分)已知关于 x 的不等式 x +ax+b>0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣ ,+∞) ,则关于 x 的不等式 bx +ax+1<0 的解集是(﹣2,﹣ ) .
2

考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题.

分析: 由一元二次不等式的解法,等式 x +ax+b>0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣ ,+∞) , 即方程 x +ax+b=0 的解为﹣2 和﹣ ,从而求出 a、b 的值,最后解不等式 bx +ax+1<0 即可 解答: 解:∵关于 x 的不等式 x +ax+b>0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣ ,+∞) , ∴关于 x 的方程 x +ax+b=0 的解为﹣2 和﹣ ∴由韦达定理,a= ,b=1 ∴关于 x 的不等式 bx +ax+1<0?x + x+1<0?﹣2<x<﹣ 故答案为(﹣2,﹣ ) 点评: 本题考察了一元二次不等式的解法和应用,将解不等式与解方程及函数图象结合起 来是解决本题的关键
2 2 2 2 2 2

2

16. (4 分) 已知函数 ( f n) =

, 且 an=f (n) +f (n+1) , 则 a1+a2+a3+…+a2014=2014.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 2 分析: 分类讨论得出 n 为奇数时 n+1 为偶数;n 为偶数,n+1 为奇数.当 n 为奇数时,an=n 2 2 2 ﹣(n+1) =﹣2n﹣1,当 n 为偶数时,an=﹣n +(n+1) =2n+1, 运用列举法求出部分项,确定规律即可求解答案. 解答: 解:n 为奇数时 n+1 为偶数;n 为偶数,n+1 为奇数. 当 n 为奇数时,an=n ﹣(n+1) =﹣2n﹣1, 2 2 当 n 为偶数时,an=﹣n +(n+1) =2n+1 ∴a1=﹣3,a2=5,a3=﹣7,a4=9,a5=﹣11,a6=13m,…, ∴a1+a2=2,a3+a4=2, 即 a1+a2+a3+…+a2014=2×1007=2014, 故答案为:2014. 点评: 本题考查了数列的函数性质,运用整体求解,分类讨论得出函数值,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=5,S9=99. (1)求 an 及 Sn; (2)若数列{bn}满足 bn= ,n∈N ,证明数列{bn}的前 n 项和 Tn 满足 Tn<1.
* 2 2

考点: 数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知利用等差数列通项公式和前 n 项和公式求出首项和公差,由此能求出

,由此能求出 an 及 Sn.

(2)bn=

=

=

,由此利用裂项求和法能证明 Tn<1.

解答: (1)解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=5,S9=99, ∴ ,

解得 a1=3,d=2, ∴an=2n+1, .

(2)证明:bn=

=

=



∴Tn=

=1﹣

<1.

∴Tn<1. 点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,考查数列的前 n 项和小于 1 的证 明,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x+a, (1)当 a=2 时,求关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集; (2)求关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集. 考点: 一元二次不等式的解法;二次函数的性质. 专题: 分类讨论;不等式的解法及应用. 2 分析: (1)a=2 时,f(x)=x ﹣3x+2,解不等式 f(x)>0 即可; (2)由 f(x)<0,得(x﹣a) (x﹣1)<0,讨论 a 的值,求出不等式的解集. 解答: 解: (1)当 a=2 时,f(x)=x ﹣3x+2, 2 ∵f(x)>0,∴x ﹣3x+2>0; 2 令 x ﹣3x+2=0, 解得 x1=1,x2=2; ∴原不等式的解集为(﹣∞,1)∪(2,+∞) ; (2)∵f(x)<0, ∴(x﹣a) (x﹣1)<0, 令(x﹣a) (x﹣1)=0, 解得 x1=a,x2=1;
2 2

当 a>1 时,原不等式的解集为(1,a) 当 a=1 时,原不等式的解集为?, 当 a<1 时,原不等式的解集为(a,1) . 点评: 本题考查了不等式的解法与应用问题,解题时应结合不等式与对应的函数以及方程 之间的关系,进行解答,是基础题. 19. (12 分)在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出了他们的工资标准:A 公司允 诺第一年年薪为 16 万元,以后每年年薪比上一年年薪增加 2 万元;B 公司允诺第一年年薪为 20 万元,以后每年年薪在上一年的年薪基础上递增 5%,设某人年初被 A、B 两家公司同时录 取,试问: (1)若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的年薪收入分别是多少? (2)该人打算连续在一家公司工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其 他因素) , 该人应该选择哪家公司, 为什么? (参考数据: 1.05 ≈1055, 1.05 ≈1.63, 1.05 ≈1.71) 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意,在 A 公司连续工作 n 年,则第 n 年的年薪成等差数列,在 B 公司连续 工作 n 年,则第 n 年的年薪成等比数列; (2)由等比等差数列前 n 项和公式求总收入,从而确定. 解答: 解: (1)在 A 公司连续工作 n 年,则第 n 年的年薪为 an=16+2(n﹣1)=2n+14(万 元) , 在 B 公司连续工作 n 年,则第 n 年的年薪为 bn=20(1+ (2)在 A 公司连续工作 10 年,则其工资总收入为: S10= (16+14+10×2)×10=250(万元) , 在 B 公司连续工作 10 年,则其工资总收入为: S′10= =252(万元) , )
n﹣1 9 10 11

=20×1.05

n﹣1

(万元) ,

∵S′10>S10, 故仅从工资收入总量来看, 该人应该选择 B 公司. 点评: 本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及等差与等比数列的运用,属于中档题. 20. (12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c(1+cosA)= (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求△ ABC 的周长. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinC 不为 0,利用两角和与差的正弦函数公 式变形,求出 A 的度数即可;

(2)由 a,以及 cosA 的值,利用余弦定理列出关系式得到 b +c ﹣bc=4,再利用三角形面积 公式列出关系式,将已知面积及 sinA 代入求出 bc=4,两式联立求出 b+c 的值,由 a+b+c 即可 求出三角形 ABC 周长. 解答: 解: (1)由已知及正弦定理得 sinC(1+cosA)= sinAsinC, ∵sinC≠0,∴1+cosA= ∴A﹣ ∴A= = ; = ,
2 2 2

2

2

sinA,即 =

sinA﹣cosA=2(

sinA﹣ cosA)=2sin(A﹣

)=1,

或 A﹣

(舍去) ,

(2)∵a=2,cosA=cos
2 2

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 b +c ﹣bc=4,① ∵△ABC 的面积为 ∴bc=4,② 联立①②得: (b+c) =4+3bc=16, ∴b+c=4, 则△ ABC 周长为 a+b+c=2+4=6. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关 键. 21. (12 分)为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图,要求 ∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米 (1)当 BC 长度为 2 米时,AC 为多少米? (2)为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 BC 长度为多少米时,AC 长度最短,最 短为多少米?
2

,即 bcsinA=

bc=



考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: (1)BC 的长度为 2 米,AC 的长度为 x 米,依据题意可表示出 AB 的长度,然后代 入到余弦定理中求得 x 的值即可. (2)设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,依据题意可表示出 AB 的长度,然后代入到余 弦定理中求得 x 和 y 的关系式,利用基本不等式求得 y 的最小值,并求得取等号时 x 的值. .

解答: 解: (1)由题意 BC=2,设 AC=x,则 AB=x﹣0.5, 在△ ABC 中,依余弦定理得:AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos∠ACB 即(x﹣0.5) =x +2 ﹣2×2×x× , 解得 x= . 米.
2 2 2 2 2 2

当 BC 长度为 2 米时,AC 为

(2)设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y﹣0.5)米, 2 2 2 在△ ABC 中,依余弦定理得:AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos∠ACB 即(y﹣0.5) =y +x ﹣2yx× ,化简,得 y(x﹣1)=x ﹣ ∵x>1, ∴2﹣1>0 因此 y= y= 当且仅当 x﹣1= 即 x=1+ , +2≥ +2
2 2 2 2

时,取“=”号, . .

时,y 有最小值 2+

答:AC 最短为 2+

米,BC 长度为 1+

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题.考查了考生利用 数学模型解决实际问题的能力.

22. (14 分)已知数列{an}的首项 (1)求证:数列





为等比数列;

(2)记

,若 Sn<100,求最大的正整数 n.

(3)是否存在互不相等的正整数 m,s,n,使 m,s,n 成等差数列且 am﹣1,as﹣1,an﹣1 成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由. 考点: 等比关系的确定;数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据 an+1 和 an 关系式进行化简, (2)先由(1)得出数列{ 可; (3)假设存在正整数 m,s,n,根据等比数列性质得出(am﹣1)?(an﹣1)=(as﹣1) 并 化简,再根据 a+b≥2 ,确定是否存在. 解答: 解: (1)∵ ∵ ∴ ∴数列 ,∴ , 为等比数列. (4 分) ,∴ . (5 分) ,∴ , (3 分) , (2 分)
2

}的通项公式,然后根据分组方法求出 Sn,解不等式 Sn<100 即

(2)由(1)可求得

=

, (7 分)

若 Sn<100,则

,∴nmax=99. (9 分)
2

(3)假设存在,则 m+n=2s, (am﹣1)?(an﹣1)=(as﹣1) , (10 分) ∵
m

,∴
n s

. (12 分)

化简得:3 +3 =2?3 , (13 分) ∵ ,当且仅当 m=n 时等号成立. (15 分)

又 m,n,s 互不相等,∴不存在. (16 分) 点评: 本题考查了等比数列的性质、前 n 项和的求法以及不等式的解法,综合性很强,本 题要注意 a+b≥2 运用,本题有一定难度.


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