2018_2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2圆与方程2.2.1第一课时圆的标准方程课时作业苏教版必修2

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2.2.1 第一课时 圆的标准方程

[学业水平训练]

1.圆心为 C(6,5),且过点 B(3,6)的圆的标准方程为________. 解析:由圆心为 C(6,5),可设圆的标准方程为(x-6)2+(y-5)2=r2,又该圆过点 B(3,6), 则(3-6)2+(6-5)2=10,故所求圆的标准方程为(x-6)2+(y-5)2=10. 答案:(x-6)2+(y-5)2=10 2.已知点 A(8,-6)与圆 C:x2+y2=25,P 是圆 C 上任意一点,则 AP 的最小值是________.

解析:由于 82+(-6)2=100>25,故点 A 在圆外,从而 AP 的最小值为 82+ - 2-5=

10-5=5.

答案:5 3.圆(x+2)2+y2=5 关于原点 O(0,0)对称的圆的方程为________. 解析:已知圆心坐标是(-2,0),其关于原点对称的点是(2,0),故所求圆的方程为(x-2)2 +y2=5. 答案:(x-2)2+y2=5

4.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上.则此圆的方

程是________.

解析:设直径的两个端点为 M(a,0),N(0,b),则a+2 0=2? a=4,b+2 0=-3? b=-6.

所以 M(4,0),N(0,-6).

因为圆心为(2,-3),

故 r=

- 2+ -3- 2= 13.

所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.

答案:(x-2)2+(y+3)2=13

5.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心, 5为半径

的圆的方程是________.

解析:将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的 方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 答案:(x+1)2+(y-2)2=5 6.如果直线 l 将圆(x-1)2+(y-2)2=5 平分且不通过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围

是________.

解析:由题意知 l 过圆心(1,2),由数形结合得 0≤k≤2.

答案:[0,2] 7.已知圆 C 的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求半径 a; (2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求 a 的取值范围. 解:(1)∵点 M(6,9)在圆上, ∴(6-5)2+(9-6)2=a2,即 a2=10. 又 a>0,∴a= 10. (2)∵PC= - 2+ - 2= 13,
1

QC=

- 2+ - 2=3,

PC>QC,故点 P 在圆外,点 Q 在圆内,∴3<a< 13.

8.(2014·临沂高一检测)一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方

程.

解:法一:∵圆心在直线 y=x+2 上, ∴设圆心坐标为(a,a+2),则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2,

∵点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上,

∴???
??

-a 2+ -a 2+

-a- -a-

2=r2, 2=r2,

??a=-14, 解得???r2=285,

∴所求的圆的方程为(x+14)2+(y-74)2=285. 法二:由题意,圆的弦 OP 的斜率为 3,
13 中点坐标为(2,2), ∴弦 OP 的垂直平分线方程为 y-32=-13(x-12), 即 x+3y-5=0, ∵圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,

∴由?????yx= +x3+ y-2, 5=0,

??x=-14, 解得???y=74.

即圆心坐标为 C(-14,74),

又圆的半径 r=OC=

1 -4

2+

7 4

2=

25 8,

∴所求的圆的方程为(x+14)2+(y-74)2=285.

[高考水平训练] 1.已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2+(y-1)2=2,则 C 上各点到 l 的距离的最小
值为________.

解析:由图可知:过圆心作直线 l:x-y+4=0 的垂线,则 AD 长即为所求. ∵C:(x-1)2+(y-1)2=2 的圆心为 C(1,1),半径为 2,点 C 到直线 l:x-y+4=0 的距 离为 d=|1-1+4|=2 2,
2
∴AD=CD-AC=2 2- 2= 2, 故 C 上各点到 l 的距离的最小值为 2.

2

答案: 2

2.设点 P(x,y)是圆 x2+(y+4)2=4 上任意一点,则 ________.

x- 2+ y- 2的最大值为

解析: x- 2+ y- 2表示点 P(x,y)到定点(1,1)的距离,由于点 P 是圆 x2+(y+4)2=4 上任意一点, 圆心 C(0,-4)与定点的距离为

- 2+ -4- 2= 26,

故 x- 2+ y- 2的最大值为 26+2.

答案: 26+2 3.已知某圆圆心在 x 轴上,半径为 5,且截 y 轴所得线段长为 8,求该圆的标准方程. 解:由题设 AC=r=5,AB=8,∴AO=4,

在 Rt△AOC 中,OC= AC2-AO2= 52-42=3. 如图所示:

设点 C 坐标为(a,0),则 OC=|a|=3, ∴a=±3.
∴所求圆的方程为 (x+3)2+y2=25 或(x-3)2+y2=25. 4.已知圆 C 的圆心坐标为 C(x0,x0),且过定点 P(4,2). (1)求圆 C 的方程; (2)当 x0 为何值时,圆 C 的面积最小,并求出此时圆 C 的标准方程. 解:(1)由题意,得圆 C 的方程为 (x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0). ∵圆 C 过定点 P(4,2), ∴(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r≠0). ∴r2=2x20-12x0+20. ∴圆 C 的方程为(x-x0)2+(y-x0)2 =2x20-12x0+20. (2)∵(x-x0)2+(y-x0)2 =2x20-12x0+20=2(x0-3)2+2, ∴当 x0=3 时,圆 C 的半径最小,即面积最小. 此时圆 C 的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.

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