2014-2015大连24中高一(下)期末数学试卷(含答案)

2014-2015 学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷

命题学校:辽宁省实验中学 命题人:刘铭 王清礼

注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的。

(1)sin 210? ? cos300? ?

()

(A) ?1

(B)0

(C)1

(D) 3

(2)已知 tan ? ? 1 ,则 tan(45 ?? ?) ? 2

(A)1

(B) 2

(3)下列叙述中错.误.的是:

(C)3

(D) 4

(A)如果事件 A 与事件 B 对立,则 P(A) ?P(B) ?1

() ()

(B)如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A ? B) ? 1

(C)如果事件 A 包含于事件 B ,则 P(A) ? P(B)

(D)如果事件 A 与事件 B 相等,则 P(A) ? P(B)

(4)现有一组数据:

17.7 ,16.3,14.6,18.7 ,17.9,12.0,15.3 ,14.6,14.0,18.9 ,21.0 ,18.1

某同学借助计算机对这组数据进行统计学分析.在数据录入的过程中该同学不慎将某一数

据的小数点遗漏(例如将数据17.9 录入为179).则有误数据的计算结果,与正确数据的

计算结果可能相同的是

()

(A)平均数 (B)标准差 (C)极差

(D)中位数

(5)已知a ? (1,3) ,b ? (x, 2) ,c ? (1, 2) ,若(2a ? b) ∥c ,则 x ?

()

(A) ?1

(B) 0

(C)1

(D) 2

高一年级数学科试卷 第 1 页 共 10 页

(6)已知平面向量| a |? 1,| b |? 2 ,且a ? (a ? b) ,则| 2a ? b | 的值是

(A) 2

(B)2 2 (C)2 3

(7)根据程序框图(左图)写出程序(右图),则 程序中横线处所缺少的语句及运行的结果是 ()

(A)for n=1 :1 : 5 和120 (B)for n=1 :1 : 5 和720

(C)while n=1 :1 : 5 和120 (D)while n=1 :1 : 5 和720

(D) 4

()

(8)设曲线 y ? sin x (0 ? x ? ? )与线段 y ? 0(0 ? x ? ? )所围成区域的面积为S (左

图).我们可以用随机模拟的方法估计 S 的值,进行随机模拟的程序框图如下. S 表示估

计结果,则图中空白框内应填入

()

(A) yi ? sin xi (B) yi ? sin xi (C) yi ? sin(? xi ) (D) yi ? sin(? xi )
高一年级数学科试卷 第 2 页 共 10 页

(9)将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象的横坐标扩大到原来的2 倍(纵坐标不变),然后再向右平 4

移 ? 个单位长度,则所得图象的函数解析式是 6

()

(A) y ? sin(x ? ? ) 12

(B) y ? sin(x ? 7? ) 12

(C) y ? sin(4x ? 5? ) 12

(D) y ? sin(4x ? ? ) 12

(10)函数 f (x) ?2sin( ?x ??) (? ? 0 ,0 ? ? ? 2? )的部分图像如图所示,点 P ( 2? , 0) 9

是该图像与 x 轴一个交点,点Q (0, 3) 是该图像与 y 轴交点,则

()

(A) f (x) ? 2sin(3x ? ? ) 3
(B) f (x) ? 2sin(3x ? 2? ) 3
(C) f (x) ? 2sin(15 x ? ? ) 23
(D) f (x) ? 2sin(15 x ? 2? ) 23
(11)设函数 f (x) 的定义域为 A .若函数 f (x) 满足: (ⅰ) A ? {x | x ? 2k ?1, k ? Z} ;

(ⅱ)函数 f (x) 是奇函数;(ⅲ)对任意 x ? A ,有 f (x ?1) ? ? 1 .则下面关于函 f (x)

数 f (x) 的叙述中错.误.的是

()

(A)函数 f (x) 是周期函数,且最小正周期是2

(B)函数 f (x) 的图像关于点(1, 0) 中心对称

(C)函数 f (x) 在区间(0,1) 上是增函数

(D)函数 f (x) 的零点是 x ? 2k (其中k ? Z )

(12)已知点O 是△ ABC所在平面内一点,且点O 不在△ ABC三边所在直线上.设点 P 满

足OP ? ?1OA ? ?2OB ? ?3OC (其中?i ?R ,i ? 1,2,3 ),则下列叙述中正确的是

①当?1 ? 1且?2 ? ?3 ? 0 时,点 P 与点 A 重合;

()

②当?1 ? ?2 ? 1且?3 ? 0 时,点 P 在直线 AB 上;

③当?1 ? ?2 ? ?3 ? 1且?i ? 0 (其中i ? 1,2,3 )时,点 P 在△ ABC内.

(A) 0

(B)1

(C) 2

(D)3

高一年级数学科试卷 第 3 页 共 10 页

第Ⅱ卷

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

(13)为了了解 2400 名学生的学习情况,计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为

50 的样本,则分段间隔为



(14)有一个容量为 200 的样本,样本数据分组为 [50, 70) , [70,90) , [90,110) ,

[110,130) ,[130,150] ,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计

样本数据落在区间[90,110) 内的频数为



第(14)题图

第(15)题图

(15)在一平面上画有一组间距为d 的平行线.现将一个质地均匀、半径为r ( 2r ? d )的圆形

硬币随机地投掷到这个平面上,如图.则此硬币与任何一条平行线都不.相.交.的概率





(16)设△ ABC 的三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,下列有关等边三角形的四项叙

述:

①若 a ? b ? c ,则△ ABC 是等边三角形; sin A sin B sin C

②若 a ? b ? c ,则△ ABC 是等边三角形; cos A cos B cos C

③若 a ? b ? c ,则△ ABC 是等边三角形; tan A tan B tan C

④若 a ? b ? c ,则△ ABC 是等边三角形. ABC

其中,正确叙述的序号是



高一年级数学科试卷 第 4 页 共 10 页

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ?(sin x ?cos x) 2 ?cos2 x ( x?R ). (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 在区间[0, ?] 上的最大值和最小值.
2
(18)(本小题满分 12 分)
设锐角△ ABC内角 A, B,C 所对应的边分别为a,b,c .已知2a sin B ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若a ? 7 ,b ? 2 ,求cosC .

3b .

(19)(本小题满分 12 分) 某同学为研究 G 地区年降水量(单位:毫米)对粮食单产(单位:公斤/公顷)的影响,对 2004
年至 2014 年的降水量 xi 和粮食单产 yi ( i ? 1, 2,3, ,11 )数据作了调查,相应数据如下:

年 份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

降水量 1455 1616 1816 1627 1523 1280 1803 1822 1368 1323 1488
(毫米)

单产

(公斤 / 4118 4070 4132 4144 4228 4180 4150 4180 4222 3983 4391

公顷)
(Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)该同学对以上数据作了初步处理,得到下面一些统计量的值:

x ? 1556 ,

y ? 4163,

11

11

? ? (xi ? x)2 ? 3.90 ?10 5 , (xi ? x)( yi ? y) ? ?6.28?102 ,

i ?1

i ?1

请根据这些数据,建立 y 关于 x 的回归直线方程(其中b? 保留两位有效数字,a? 保留四位

有效数字);

(Ⅲ)气象局预计 2015 年 G 地区年降水量为 1700―1800 毫米,请由(Ⅱ)的结论估计 2015

年 G 地区的粮食单产 y (单位:公斤/公顷),并给出 G 地区年降水量 x (单位:毫米)对粮食单

产 y (单位:公斤/公顷)影响的统计学结论.

附: 对于一组数据(x1, y1) ,(x2 , y2 ) ,……,(xn , yn ) ,其回归直线 y? ? b?x ? a? 的斜率和截

距的最小二乘估计分别为:

n

? (xi ? x)( yi ? y)

b ? i?1 n

,a ? y ?bx .

? (xi ? x)2

i ?1

高一年级数学科试卷 第 5 页 共 10 页

(20)(本小题满分 12 分)
某校为了解甲乙两班学生英语考试成绩,在甲乙两班分别随机抽取10 名同学,记录他们的
英语考试成绩(单位:分),获得数据如下:
甲班:129,118,133,125,119,126,124,130,127 ,121; 乙班:133 ,124 ,126 ,119 ,134 ,128 ,126 ,133 ,125 ,132 .
(Ⅰ)根据两组数据完成两班英语考试成绩的茎叶图,并根据茎叶图判断哪个班的平均成 绩较高(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(Ⅱ)由这20 名同学中成绩高.于.129分的同学组成一个小组;从该小组中任取2 名同学, 求他们的英语成绩之差大.于.1分的概率.
(21)(本小题满分 12 分)
如图,勘探队员朝一座山行进,在前后两处 A, B 观察塔尖 P 及山顶Q .已知 A, B,O 在 同一水平面, P,Q, A, B,O 在同一平面且与水平面垂直.
设塔高 PQ ? h ,山高 QO ? H , AB ? m , BO ? n ,仰角 ?PAO ? ? ,仰角 ?QAO ? ? ,仰角?PBO ?? .
(Ⅰ)试用m,?, ?,? 表示h ; (Ⅱ)设仰角?QBO ? ? .写出(不必说明理由)用m,?,? ,? 表示h 的代数式.
(22)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1?sin 2 x ?sin x ?1 ,其中 x ? R . 1? sin2 x ? sin x ?1
(Ⅰ)证明:2? 是函数 f (x) 的周期; (Ⅱ)①指出并证明函数 f (x) 的奇偶性;
②写出(不必说明理由)函数 y ? f (x) 图像的一条对称轴; (Ⅲ)求函数 f (x) 的值域.
高一年级数学科试卷 第 6 页 共 10 页

2014-2015 学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷

数学试题参考答案和评分参考

一.选择题:

(1)(B) (2)(C) (3)(B) (4)(D) (5)(D) (6)(C) (7)(A) (8)(C) (9)(A) (10)(A)(11)(C) (12)(D) 二.填空题:

(13)48 . (14)60 . (15) d ? 2r . (16)②③④. d
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17):解:

(Ⅰ)由题意得: f (x) ? ?sin 2x ? cos 2x ?1 ? ? 2 sin(2x ? ? ) ?1. 4

因为T ? 2? ? ? ,所以 f (x) 的最小正周期是? . 2

……4 分

(Ⅱ)因为0 ? x ? ? 时,所以 ? ? 2x ? ? ? 5? ,

2

4

44

从而? 2 ? sin(2 x ? ?) ?1 ,

2

4

故1? 2 ? ? 2 sin(2x ? ? ) ?1 ? 2 . 4

即 f (x) 在区间[0, ?] 上的最大值是2 ,最小值是1? 2 . 2

(18)解:

……10 分

(Ⅰ)因为2a sin B ? 3b ,由正弦定理得:2sin Asin B ? 3 sin B .

所以sin A ? 3 . 2
又因为 A 是锐角,所以 A ? 60? . (Ⅱ)由余弦定理得a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A.

因为a ? 7 ,b ? 2 , A ? 60? ,

所以有7 ? 4 ? c2 ?2 c ,整理得c2 ? 2c ?3 ?0 . 解得c ? 3.

由余弦定理得cos C ? a2 ? b2 ? c2 ? 7 ? 4 ? 9 ?

7
.

2ab

2? 7 ? 2 14

……4 分 ……12 分

高一年级数学科试卷 第 7 页 共 10 页

(19)解: (Ⅰ)

(Ⅱ)由题意得b? ? ?1.6?10?3 ,a ? 4165 ,

……2 分

所以 y 关于 x 的回归直线方程为: y ? 4165 ?0.0016 x .
(Ⅲ)由(Ⅱ)得,

……6 分

当 x ?1700 时, y ? 4162.28;

当 x ?1800 时, y ? 4162.12 ; 所以估计 2015 年 G 地区的粮食单产为 4137 至4139 (单位:公斤/公顷). ……10 分 G 地区年降水量 x (单位:毫米)和粮食单产 y (单位:公斤/公顷),成负相关. G 地区年降水量 x (单位:毫米)对粮食单产 y (单位:公斤/公顷)影响不明显.
……12 分 (20)解:
(Ⅰ)茎叶图如图.

根据茎叶图推断乙班的平均成绩较高.

……4 分

(Ⅱ)这20 名同学中成绩高于129分的同学共6 名.这8 名同学分别记为[0],[2] ,[3a],

[3b] ,[3c] ,[4] .

从该小组中任取2 名同学共包含15 个基本事件分别记为: {[0],[2]}, {[0],[3 a]} ,{[0],[3b]} ,{[0],[3c]}, {[0],[4]} ,{[2],[3a]},

{[2],[3b]},{[2],[3c]}, {[2],[4]} , {[3a],[3b]} ,{[3a],[3c]},{[3a],[4]},

{[3b],[3c]} ,{[3b],[4]},{[3c],[4]}.

其中英语成绩之差大于1分的基本事件有: {[0],[2]},{[0],[3a]} ,{[0],[3b]} ,{[0],[3c]} ,{[0],[4]},{[2],[4]}

共6 种.

所以 P ? 6 ? 2 . 15 5

……12 分

高一年级数学科试卷 第 8 页 共 10 页

(21)解:

(Ⅰ)

? ? ?

H m

? ?

h n

?

tan ?

,

?H ? h ? tan ?(m ? n),

由题意得: ?? ?

H m?

n

?H ?h

?? n

? tan ? , ? tan?.

即:

? ?

H

?? H

? tan ?h ?

?( m tan ?

?n), ?n.

所以

?tan ?? tan

?( m ? n) ?( m ? n)

?tan ? ?n, ?h ?tan ?

?n.

整理得h ? tan ?(tan ? ?tan ?) ? m .(或h ? sin ?sin( ? ? ?) ? m .)

tan ? ?tan ?

sin( ? ??)cos ?

……8 分

(Ⅱ)用m,?,?,? 表示h 的代数式为:

h ? tan ?(tan ? ?tan ?) ? m .(或h ? sin ?sin( ? ? ?) ? m .) ……12 分

tan ? ?tan ?

sin( ? ??)cos ?

(22)
(Ⅰ)证明:由题意知:对于 x ? R ,
f (x ? 2?) ? 1? sin 2( x ?2 ?) ?sin( x ?2 ?) ?1 1? sin 2( x ?2 ?) ?sin( x ?2 ?) ?1

? 1? sin 2 x ?sin x ?1 1? sin 2 x ?sin x ?1
所以 f (x ? 2?) ? f (x) ,即2? 是函数 f (x) 的周期.

……2 分

(Ⅱ)解:①函数 f (x) 是奇函数.

由题意知:对于 x ? R ,

1? sin2 x ? sin x ?1 1? sin2 x ? sin x ?1

f (?x) ? f (x) ?

?

1? sin2 x ? sin x ?1 1? sin2 x ? sin x ?1

? ( 1? sin2 x )2 ? (sin x ?1)2 ? ( 1? sin2 x)2 ? (sin x ?1)2 ( 1? sin2 x ? sin x ?1)( 1? sin2 x ? sin x ?1)

?0 所以 f (?x) ? ? f (x) ,即函数 f (x) 是奇函数.

②直线 x ? ? 是函数 y ? f (x) 图像的一条对称轴. 2

……6 分

高一年级数学科试卷 第 9 页 共 10 页

(Ⅲ)解:

由题意知:对于 x ? R , f (x) ? 1?

2

1? sin2 x ? sin x ?1

因为当

x

?[0,

? ]

时,函数

y

?

1? sin 2 x ?sin x?1 是增函数,

2

所以2 ? 1 ?sin 2 x ?sin x ?1 ?2 ? 2 .

从而0 ?1 ?

2

? 2 ?1 .

1?sin 2 x ?sin x ?1

即当 x ?[0,

? ]

时,0 ?

f

(x) ?

2 ?1.

2

因为函数 f (x) 是奇函数,

所以当 x ?[? ? , 0] 时,1? 2 ? f (x) ? 0 . 2
即当 x ?[? ? , ? ] 时,1? 2 ? f ( x) ? 2 ?1 . 22
因为 x ? ? 是函数 y ? f (x) 图像的一条对称轴, 2
所以当 x ?[? , 3?] 时,1? 2 ? f ( x) ? 2 ?1 . 22
综上,当 x ?[? ? , 3? ] 时,1? 2 ? f ( x) ? 2 ?1 . 22

故函数 f (x) 的值域为[1 ? 2, 2 ?1] .

……12 分

高一年级数学科试卷 第 10 页 共 10 页


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