2.2.1《 综合法与分析法》ppt课件_图文

第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法 栏 目 链 接 用综合法、分析法证明代数问题 已知:a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 证明:证法一(分析法) 要证a3+b3>a2b+ab2, 即证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b), 因为a+b>0,故只需证a2-ab+b2>ab, 即证a2-2ab+b2>0,即证(a-b)2>0, 因为a≠b,所以(a-b)2>0成立, 所以a3+b3>a2b+ab2成立. 证法二(综合法) 由a≠b,知(a-b)2>0,即a2- 栏 目 链 接 2ab+b2>0,则a2-ab+b2>ab,又a+b>0, 则(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),即a3+b3>a2b +ab2. ?变式训练 1.已知 sin θ 与 cos θ 的等差中项是 sin x,等比中项是 sin y. (1)试用综合法证明:2cos 2x=cos 2y; π 1-tan2x (2) 若 x , y ≠ k π + (k∈Z) ,试用分析法证明: = 2 1+tan2x 1-tan2y . 2(1+tan2y) 栏 目 链 接 证明:(1)∵ sin θ与 cos θ的等差中项是 sin x,等比中项是 sin y, ∴ sin θ+cos θ=2sin x,① sin θcos θ=sin2y,② ①2-②×2,可得 (sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=4sin2x-2sin2y, 即 4sin2x-2sin2y=1. 1-cos 2x 1-cos 2y ∴ 4× -2× =1, 2 2 即 2-2cos 2x-(1-cos 2y)=1. 故证得 2cos 2x=cos 2y. 栏 目 链 接 1-tan2x 1-tan2y (2)要证 = , 1+tan2x 2(1+tan2y) sin2x sin2y 1- 2 1- 2 cos x cos y 只需证 = ? , sin2x sin2y ? 1+ 2 2?1+ 2 ? cos x cos y? ? cos2x-sin2x cos2y-sin2y 即证 2 = , cos x+sin2x 2(cos2y+sin2y) 1 2 2 即证 cos x-sin x= (cos2y-sin2y), 2 1 只需证 cos 2x= cos 2y. 2 1 由(1)的结论可知,cos 2x= cos 2y 显然成立. 2 1-tan2x 1-tan2y 所以 = . 1+tan2x 2(1+tan2y) 栏 目 链 接 2.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图象 ? 1? ? 关于 y 轴对称.求证:f x+2?为偶函数. ? ? 栏 目 链 接 ? 1? 证明:要证 f?x+2?为偶函数,只需证明其对称轴为 x=0,即只 ? ? b 1 需证- - =0,只要证 a=-b, 2a 2 b 由已知,抛物线 f(x+1)的对称轴 x=- -1 与 f(x)的对称轴 x 2a 栏 目 b 链 =- 关于 y 轴对称, 2a 接 ? b? b ∴- -1=-?-2a?. 2a ? ? ∴a=-b. ? 1? ∴f?x+2?为偶函数. ? ? 用综合法、分析法证明几何问题 如下图,在三棱柱ABCA1B1C1 中,侧棱AA1⊥底面ABC, AB⊥BC,D为AC 的中点. 求证:AB1∥平面BC1D. 栏 目 链 接 证明:连接B1C(如下图),设B1C与BC1相交于点O,连接 OD, ∵四边形BCC1B1是平行四边形, ∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点, ∴OD为△AB1C的中位线, 栏 目 链 接 ∴OD∥AB1 又∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D, ∴AB1∥平面BC1D. (2014· 肇庆一模)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中 点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB= 2,VA=VB=VC=2. (1)求证:OD∥平面VBC; 栏 目 链 接 (2)求证:AC⊥平面VOD; 证明:(1)∵O、D分别是AB和AC的中点, ∴OD∥BC. 又OD?平面VBC,BC?平面VBC, ∴OD∥平面VBC. (2)∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB. 连接OC,在△VOA和△VOC中, 栏 栏 目 目 链 链 接 接 OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC, ∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC. ∵AB∩OC=O,∴VO⊥平面ABC. ∵AC?平面ABC,∴AC⊥VO. 又∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD. ∵VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD. 栏 目 链 接 ?变式训练 3.如右图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,证明:平面 A1BD∥平面CB1D1. 栏 目 链 接 证明:因为ABCDA1B1C1D1为长方体,所以有A1D1綊BC, 即四边形A1BCD1为平行四边形,从而有A1B∥CD1.又已知 A1B?平面CB1D1,CD1?平面CB1D1,进而有A1B∥平面 CB1D1;同理有A1D∥B1C,从而有A1D∥平面CB1D1.又已知 A1B∩A1D=A1,所以有平面A1BD∥平面CB1D1. 栏 目 链 接 4.(2014· 珠海一模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边 形A1ABB1为菱形,∠A1AB=45°,四边形BCC1B1为矩形, 若AC=5,AB=4,BC=3. (1)求证:BC∥平面A1B1C1; 栏 目 链 接 (2)求证:AB1⊥平面A1BC. 解析:(1)证明:∵四边形BCC1B1为矩形, ∴BC∥B1C1. ∵BC?平面A1B1C1,B1C1?平面A1B1C1, 栏 目 链 接 ∴BC∥平面A1B1C1. (2)在△ABC中,A

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