广东省汕头市高中数学第一章算法初步1.3秦九韶算法与进位制课件新人教A版必修3_图文

1.3 秦九韶算法与进位制 1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 ( )和( )。 2、两个数21672,8127的最大公约数是 ( A、2709 B、2606 C、2703 D、2706 ) 一、秦九韶算法 怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢? 计算多项式f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1当x = 5的值 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算。 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1 共做了4次乘法运算,5次加法运算。 《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的多项式 这是怎样 的一种改 n n ?1 f ( x) ? an x ? an?1 x ? ? ? a1 x ? a0 写方式? 对该多项式按下面的方式进行改写: 最后的结 果是什么? n n ?1 f ( x) ? an x ? an?1 x ? ? ? a1 x ? a0 ? (an x n?1 ? an?1 x n?2 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? ?? ? (( an x n?2 ? an?1 x n ?3 ? ? ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0 f ( x) ? (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0 要求多项式的值,应该先算最内层的一次多项式的值,即 然后,由内到外逐层计算一次多项式的值,即 v1 ? an x ? an?1 v2 ? v1 x ? an?2 ?? v3 ? v2 x ? an?3 vn ? vn?1 x ? a0 最后的一 项是什么? 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法,称为秦九韶算法。 算法步骤: 第一步:输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步:将v的值初始化为an,将i的值初始化为1. 第三步:输入i次项的系数an-i. 第四步:v=vx+an-i,i=i+1. 第五步:判断i是否小于或等于n,若是,则返回第 三步;否则,输出多项式的值v。 程序框图: 开始 输入n,an,x V=an i=1 v ? a ? 0 n ? ?v k ? v k ?1 x ? an? k ( k ? 1,2,? , n) 这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤,因此可 用循环结构来实现。 i=i+1 v=vx+an-i i<=n? N 输出v 结束 输入an-i Y 特点:通过一次式的反复计算,逐步得出高次多 项式的值,对于一个n次多项式,只需做n次乘 法和n次加法即可。 例2 已知一个五次多项式为 5 4 f ( x) ? 5x ? 2 x ? 3.5x ? 2.6 x ? 1.7 x ? 0.8 3 2 用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解: 将多项式变形: f ( x) ? ((((5 x ? 2) x ? 3.5) x ? 2.6) x ? 1.7) x ? 0.8 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值: v0 ? 5 你从中看到了 v1 ? 5 ? 5 ? 2 ? 27 怎样的规律? v2 ? 27 ? 5 ? 3.5 ? 138.5 v3 ? 138.5 ? 5 ? 2.6 ? 689.9 怎么用程序框 图来描述呢? v4 ? 689.9 ? 5 ? 1.7 ? 3451.2 v5 ? 3451.2 ? 5 ? 0.8 ? 17255.2 所以,当x = 5时,多项式的值等于17255.2 开始 程序框图: 输入f(x)的系数: a0,a1,a2,a3,a4a5 输入x0 ?v 0 ? a n ? ?v k ? v k ?1 x ? an? k ( k ? 1,2,? , n) 这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤,因此可 用循环结构来实现。 n=1 v=a5 n=n+1 n≤5? Y v=vx0+a5-n N 输出v 结束 练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。 二、进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数 系统。 比如: 满二进一,就是二进制; 满十进一,就是十进制; 满十二进一,就是十二进制; 满六十进一,就是六十进制 基数: “满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几. 十进制: 我们最常用最熟悉的就是十进制数,它的数值部分是十个不 同的数字符号0,1,2,3,4,5,6,7,8,9来表示的。 例如133.59,它可用一个多项式来表示: 133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2 式中 1 处在百位,

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