高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式 CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B . 3.包含关系 A B? A? A B? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R 6 4.容斥原理 card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B) card ( A B C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B) ? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C A) ? card ( A B C ) . 5.集合 {a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集 有 2n –1 个;非空的真子集有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式 N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 ? | f ( x) ? M ?N M ?N f ( x) ? N |? ?0 ? 2 2 M ? f ( x) 1 ? 1 1 . ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前 者是后者的一个必要而不是充分条件 . 特别地 , 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且 只 有 一 个 实 根 在 (k1 , k 2 ) 内 , 等 价 于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 , 或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ? k ? k2 k ? k2 b b ? 1 ?? ? k2 . ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 2a 2 2 2a 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 及区间的两端点处取得,具体如下: (1) 当 a>0 时 , 若 x?? b ? ? p, q ? 2a b 处 2a , 则 f ( x) min ? f (? x?? b ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? ? p, q ? , 则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , 若 2a b x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a 10.一元二次方程的实根分布 依据: 若 f (m) f (n) ? 0 , 则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 ( 1 ) 方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 (m,??) 内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ; (2) 方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p ?? ? m ? 2 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 ? 2 或? ; ? p ? 4q ? 0 或 ? ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ( 3 ) 方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 (??, n) 内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? . ? p ? ? m ? ? 2 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同) 上 含 参 数 的 二 次 不 等 式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为 参 数 ) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2) 在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参 数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) . ?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ? 4 2 12.真值表 p q 非p 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 是 反设词 不是 原结论 反设词 至 少 有 一 一个也没有 个 都是 不都是 至 多 有 一 至少有两个 3

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