3.3.2基本不等式与最大(小)值 教案(北师大版必修五)

3.2 基本不等式与最大(小)值 ●三维目标 1.知识与技能 会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题,会用基本不等式解决实际问 题. 2.过程与方法 通过探究实例过程,领悟利用不等式求简单的最大 (小 )值问题所满足的条 件. 3.情感、态度与价值观 通过解题后的反思, 逐步培养学生养成解题反思的习惯,培养学生的探索精 神. ●重点难点 重点:用基本不等式解决简单的最值问题. 难点:用基本不等式求最值的使用条件. ●教学建议 在用基本不等式求最值时,要讲清楚使用条件: “一正、二定、三相等” .课 本 P91 例 2 就是对这三个应用条件的很好的阐释.有些问题看似不符合前面的三 个条件,但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例 3 中若 x<0 则需要变形方可利用基本不等式求最值. ●教学流程 创设问题情境,提出问题:如何通过基本不等式求 f(x)=x(1-x)(0<x<1)的最 值??引导学生回答问题,理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等” , 掌 ? ? ? ? 握 用 基 本 不 等 式 解 决 最 值 问 题 通过例1及变式训练,使学生掌握基本不等式求最值 通过例2及互动探究,使学生掌握求有约束条件的最值 通过例3及变式训练,使学生掌握基本不等式解决实际问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识 ? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 59 页) 课标解读 2.会用基本不等式解决实际问题(重点、 难点). 1.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题(重点). 基本不等式与最值 【问题导思】 已知函数 f(x)=x(1-x)(0<x<1), 该函数有最大值还是最小值?能否通过基 本不等式求它的最值? 【提示】 最大值;能. ∵0<x<1,∴1-x>0, a+b a+b 又∵ 2 ≥ ab,∴ab≤( 2 )2, ∴x(1-x)≤( x+1-x 2 1 2 ) =4, 1 1 当且仅当 x=1-x,即 x= 时,f(x)有最大值 . 2 4 已知 x、y 都是正数 和定积 最大 积定和 s2 若 x+y=s(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值 4 最小 若 xy=p(积为定值),则当 x=y 时,x+y 取得最小值 2 p (对应学生用书第 59 页) 利用基本不等式求最值 x2+5x+4 (1)已知 x>0,求函数 y= 的最小值; x 1 (2)已知 0<x<3,求函数 y=x(1-3x)的最大值. b 【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开,构造 ax+x形式,再利用基本不等 式;(2)转化为括号内外 x 的系数互为相反数即保证和为定值时,再使用基本不 等式. 【自主解答】 (1)∵y= x2+5x+4 4 = x + x x +5≥2 4+5=9, 4 当且仅当 x=x 即 x=2 时等号成立. x2+5x+4 故 y= (x>0)的最小值为 9. x (2)法一 1 ∵0<x<3,∴1-3x>0. 1 ∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x)≤ 3 1 3x+(1-3x) 2 1 ] =12. 3[ 2 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x=6时,等号成立. 1 1 ∴当 x=6时,函数取得最大值12. 法二 1 1 ∵0<x<3,∴3-x>0. 1 x+3-x 1 ∴y=x(1-3x)=3· x(3-x)≤3· ( 2 )2 1 =12, 1 1 当且仅当 x=3-x,即 x=6时,等号成立. 1 1 ∴当 x=6时,函数取得最大值12. 1.应用基本不等式的条件: “一正、二定、三相等” ,在求最值时必须同时 具备,解答本题易漏掉等号成立的条件. 2.此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点,它需要一 定的灵活性和技巧性.常用技巧有“拆项” 、 “添项” 、 “凑系数” 、 “常值代换”等. 5 1 已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值. 4 4x-5 【解】 5 ∵x<4,∴5-4x>0, 1 1 =4x-5+ +3 4x-5 4x-5 1 ]+3≤-2+3=1. 5-4x 1 即 x=1 时等号成立, 5-4x ∴y=4x-2+ =-[(5-4x)+ 当且仅当 5-4x= ∴当 x=1 时,ymax=1. 求有约束条件的最值 1 1 已知 a>0,b>0,a+2b=1,求a+b的最小值. 1 1 ?1 1? 【思路探究】 思路一:利用“1”的整体代换求解:即把a+b看作?a+b?×1 ? ? ?1 1? =?a+b?×(a+2b),化简后利用基本不等式求解. ? ? 1 1 思路二:将式子a+b中的 1 用 a+2b 代换后,利用基本不等式求解. 【自主解答】 法一 1 1 ?1 1? ? + ?1 a+b=?a b?· ?1 1? =?a+b?· (a+2b) ? ? 2b a 2b a =1+ a +b+2=3+ a +b≥3+2 =3+2 2, 2b a ? ?a= 2-1 ? = a b 当且仅当? ,即? 2时等号成立. b = 1 - ? ?a+2b=1 ? 2 1 1 ∴a+b的最小值为 3+2 2. 法二 1 1 a+2b a+2b 2b a a+b= a + b =1+ a +b+2 2b a a· b 2b a =3+ a +b≥3+2 2, 2b a ? ?a= 2-1 ? = a b 当且仅当? ,即? 2时,等号成立, b = 1 - ? ?a+2b=1 ? 2 1 1 ∴a+b的最小值为 3+2 2. 1 1 1.本题在解答中要注意使a+b取最小值所对应 a、b 的值也要一并解出来. 2.解含有条件的最值问题,常结合要求最值的式子,采用“配” 、 “凑”的 方法,构选成基本不等式的形式,从而得出最值. 本例中,如何求 ab 的最大值? 【解】 法一 1 1 ?a+2b?2 1

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