2015届山西省高三年级第二次四校联考文科数学试题及答案

2015 届 高 三 年 级 第 二 次 四 校 联 考

数学(文)试题
2014.12 命题:康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项 用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
x 1. 已知集合 A ? x log4 x ? 1?,集合 B ? x 2 ? 8 ,则 A

?

?

?

B 等于
D. ?? ?,3?

A. ?? ?,4? 2. 已知复数 z ?

B. ?0,4?

C. ?0,3?

1? i ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点在 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A. 第一象限

3. 已知数列 ?an ? 满足 a2 ? 1 , 3an?1 ? an ? 0 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 为 A.

9 10 (3 ? 1) 4

B.

9 10 (3 ? 1) 4

C.

9 ?10 (3 ? 1) 4

D.

9 ?10 (3 ? 1) 4

4. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,若 f (?a) ? f (a) ? 2 f (2) ,则实数 a 的取值范围是 A. ?? 2,2? B. ?? 2,2? C. ?? 4,2? D. ?? 4,4?

x x 5.已知命题 p : ?x?? ?,0? , 2 ? 3 ,命题 q : ?x ? ?0.1? , log2 x ? 0 则下列命题为真命题的是

A. p ? q

B. p ? (?q)

C. (?p) ? q C. 49 是

D. p ? (?q) D. 169

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. 144 B. 36

开始

S ? 0, i ? 1
i=

S ? S ?i

i ?i?2

i<13? 否

结束

输出 S

7.已知向量 a, b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? ? 3 ,则 a 与 b 的夹角为 A.

2? 3

B.

? 3

C.

? 6

D.

5? 6

8. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 ,抛物线 y 2 ? 8x 的准线为 l ,设抛物线上任意一点 P 到直线

l 的距离为 d ,则 d ? PC 的最小值为
A. 41 B. 7 C. 6 D. 9

9.已知函数 f ( x) ? 3 x ? x , g ( x) ? x ? log3 x , h( x) ? log3 x ? 3 x 的零点分别为 x1 , x 2 , x 3 , 则 x1 , x 2 , x 3 的大小关系是 A. x1 ? x 2 ? x 3 B. x 2 ? x1 ? x 3 C. x1 ? x 3 ? x 2 D. x 3 ? x 2 ? x1

10. 已知 ? 是第二象限角, sin( 3? ? ? ) ?

4 ? ,函数 f ( x) ? sin ? cos x ? cos ? cos( ? x) 5 2

的图像关于直线 x ? x0 对称,则 tan x0 ?

3 5 3 C. ? 4
A. ? A. 10 ? 5 C. 6 ? 2 2 ? 6 12. 已 知函数 f ( x) ? ?

4 3 4 D. ? 5
B. ? B. 10 ? 2 D. 6 ? 2 ? 6
?x

2 1 2
正视图 侧视图

11. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 2

俯视图

?2 ? 2 , x ? 0 图) 2 ,则 方程 f (2 x ? x) ? a(a ? 0) 的根的 个数不可 ? lg x , x ? 0

(第 11 题)

能为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?

3 x ,则此双曲线的离心率为_______. 4

14. 点 M ( x, y ) 满足不等式 2x ? y ? 1 , ,则 x ? y 的最大值为________. 15. 已知三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? 1 , AD ? 2 , BD ? 5 , AC ?

2,

BC ? AD ,则三棱锥 D ? ABC 的外接球的表面积为________.
16. 已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足:①对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ?

1 ;②函数 f ( x)

3 21 22 y ? f ( x ? 1) 是偶函数;③当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? xex ,则 f ( ? ) , f ( ) , f ( ) 从小到大 2 4 3 ....
的排列是______. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答 卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
n

在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列. P E A C D

(2)令 bn ? 2 ? an ,求数列 ? bn ? 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点. (1)证明: PB // 平面 AEC ; (2)设 AP ? AB ? 1 , AD ? 3 ,求点 P 到平面 AEC 的距离. 19. (本小题满分 12 分) B

已知向量 m ? sin x, 3 sin x , n ? ?sin x,? cos x? ,设函数 f ?x ? ? m ? n . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,边 a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,角 A 为锐角, 若 f ? A? ? sin? 2 A ? 20. (本小题满分 12 分) 已知动圆 C 过定点 A (?3,0) ,且与圆 B : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 64相切,点 C 的轨迹为曲线 T ,设 Q 为曲线 T 上(不在 x 轴上)的动点,过点 A 作 OQ ( O 为坐标原点)的平行线交曲线 T 与 M , N 两点. (1)求曲线 T 的方程; (2)是否存在常数 ? ,使 AM ? AN ? ? OQ 总成立?若存在,求 ? ;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? px ?
2

?

?

? ?

??

? ? 1 , b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长. 6?

p ? 2 ln x ( p ? R ). x

(1)若函数 f ( x) 在其定义域内为单调递增函数,求实数 p 的取值范围; (2)设 g ( x ) ?

2e ,且 p ? 0 ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p x

的取值范围. 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

CF 是?ABC 边 AB 上的高,FP ? BC, FQ ? AC. 如图,
(1)证明: A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆; (2)若 CQ ? 4,AQ ? 1 , PF ?

4 5 ,求 CB 的长. 3

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半 轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (1)写出曲线 C 的参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (2)对任意 x ? ?a,??? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

? x ? 1 ? t cos? (t 是参数 ) . ? y ? t sin ?

2015 四校二联文科数学试题答案
一选择题 二填空题 1-6 CBDACB 13. 7-12DADCCA 15. 6π 16. f ( ? ) ? f (

5 5 或 3 4

14. 1

3 2

22 21 ) ? f( ) 3 4
……………1 分 ……………2 分 ……………4 分

三解答题 17.解:
2 (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由题知, a5 ? a2 ? a14 ,

? a1 ? 1 ? (1 ? 4d ) 2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,
2 即 d ? 2d ? 0 ,又? d ? 0 ,? d ? 2

? an ? 1 ? 2(n ? 1) ,? an ? 2n ? 1
(2)? bn ? (2n ? 1) ? 2n ,

……………5 分 ……………6 分

?Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ?? ? (2n ? 1) ? 2n ① 2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ?? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ②
①-②得

? Tn ? 2 ? 23 ? 24 ? ?? ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n ?1
? 2?

……………9 分

8 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 8 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2
……………11 分 ……………12 分 P E A ……………6 分 B C ……………8 分 D

? ?6 ? 2 n?1 (2 ? 2n ? 1) ? ?6 ? 2n ?1 (3 ? 2n)

?Tn ? 6 ? 2n ?1 (2n ? 3)
18.(1)连结 BD 交 AC 与点 O,连结 EO ∵底面 ABCD 为矩形 ∴O 为 BD 的中点 又∵E 为 PD 的中点 ∴OE 为△PBD 的中位线, 则 OE∥PB ………4 分 又 OE ? 平面AEC , PB ? 平面A E C ∴PB∥平面 AEC (2)∵PB∥平面 AEC ∴P 到平面 AEC 与 B 到平面 AEC 的距离相等 ∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC 又 S△ABC=

1 1 1 3 ?1? 3 ? ,且 E 到平面 ABC 的距离为 PA ? 2 2 2 2
∴S△AEC=

AC=2,EC= 2 ,AE=1,

7 4

……………10 分

设 P 到平面 AEC 的距离为 h , 则

1 7 1 3 1 21 ? ?h ? ? ? ,可得 h = 3 4 3 2 2 7 21 7
……………12 分

∴P 到平面 AEC 的距离为

19.(1) f ?x? ? m ? n ? sin 2 x ? 3 sin x cos x

?


1 ? cos2 x 3 1 ?? ? ? sin 2 x ? ? sin? 2 x ? ? 2 2 2 6? ?

……………3 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? ?k ? Z ? ,得 ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) 2 6 3

∴ f ( x) 的单调递增区间为 ? (2) f ? A? ? sin? 2 A ?
2

2? ?? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 3 ?6 ?

……………6 分

? ?

??

1 ?? ?? 1 ? ? ? ? ? sin? 2 A ? ? ? sin? 2 A ? ? ? ? cos2 A ? 1 6? 2 6? 6? 2 ? ?

∴ cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? S△ABC=

? 1 1 又 A 为锐角,∴ cos A ? , A ? 3 2 2
∴ bc ? 8 ,

…………9 分

1 bc sin A ? 2 3 , 2

则 a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? bc ? 25 ∴ a ? 5 20.(1)∵ A(?3,0) 在圆 B 的内部 即 BC ? AC ? 8 ? AB ∴两圆相内切,所以 BC ? 8 ? AC ,

……………12 分

∴C 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,且长轴长 2a ? 8 , a ? 4 , c ? 3 ,

x2 y2 ? ?1 ?b ? 16 ? 9 ? 7 ∴曲线 T 的方程为: 16 7
2

……………4 分

(2)当直线 MN 斜率不存在时, AN ? AM ?

2 7 , OQ ? 7 4 7 ∴ AM ? AN ?| AM | ? | AN | ? cos? ? 7? ,则 ? ? ? 16

……………5 分

当直线 MN 斜率存在时,设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,MN: y ? k ( x ? 3) ,则 OQ: y ? kx , 由?

?7 x 2 ? 16 y 2 ? 112 2 2 2 2 得 (7 ? 16k ) x ? 96k x ? 144k ? 112 ? 0 ,则 ? y ? k ( x ? 3)
……………7 分

144k 2 ? 112 ? 96k 2 , x ? x ? x1 ? x2 ? 1 2 7 ? 16k 2 7 ? 16k 2
∴ y1 y 2 ? k 2 ??x1 ? 3??x2 ? 3?? ? k 2 ?x1 x 2 ? 3?x1 ? x2 ? ? 9? ?

? 49k 2 7 ? 16k 2

AM ? AN ? ?x1 ? 3??x2 ? 3? ? y1 y 2 ?

? 49(k 2 ? 1) 7 ? 16k 2

……………9 分

由?

?7 x 2 ? 16 y 2 ? 112 112 2 2 2 得 7 x ? 16k x ? 112,则 x 2 ? , 2 7 ? 16 k y ? kx ?
2

∴ OQ ? x 2 ? y 2 ? 1 ? k 2 x 2 ? 综上,存在常数 ? ? ?

?

?

2 7 1121 ? k 2 AM ? AN ? ? OQ ? ? ? ,由 可解得 。 16 7 ? 16k 2

?

?

2 7 ,使 AM ? AN ? ? OQ 总成立。 16

……………12 分 ……………2 分

px2-2x+p p 2 21.解(1)f ′(x)=p+ 2- = , x x x2 依题意,f ′(x)≥0 在(0, + ∞)内恒成立, 2x 只需 px2-2x+p≥0 在(0, + ∞)内恒成立,只需 p≥ 2 在(0, + ∞)内恒成立, x +1 2x 只需 p≥( 2 ) =1, x +1 max 故 f(x)在其定义域内为单调递增函数时,p 的取值范围是[1,+ ∞)。 (应该验证 p ? 1 时,符合题意,此题不验证也不扣分)

…………4 分

……………6 分

p 2e (2)依题意,f(x)-g(x)>0 在[1,e]上有解,设 h(x)= f(x)-g(x)= px- -2ln x- ,x∈[1,e], x x px2+p+2(e-x) p 2 2e h ′(x)=p+ 2- + 2 = , x x x x2 因为 x∈[1,e],p>0,所以 h ′(x)>0 在[1,e]上恒成立, 1 所以 h(x) 在[1,e]上是增函数,所以 hmax(x)= h(e)=p(e- )-4, e 1 依题意,要 h(x) >0 在[1,e]有解只需 hmax(x) >0,所以 p(e- )-4>0 e 解得 p > 4e 4e 2 ,所以 p 的取值范围是( 2 , + ∞) e -1 e -1 ………………12 分 ………………8 分

22.(1)连接 QP,由已知 C、P、F、Q 四点共圆,? ?QCF ? ?QPF ,

? ?A ? ?QCF ? ?CPQ ? ?QPF ? 900 ,? ?A ? ?CPQ .
则四点 A、B、P、Q 共圆。 (2) CF ? CQ ? CA ? 4 ? 5 ? 20 ,直角三角形 CPF 中,
2

……………………5 分

CP ? CF 2 ? PF 2 ? 20 ? (

4 5 2 10 2 ,又 CP ? CB ? CF , ) ? 3 3

CB ?

CF 2 ?6 CP

………………10 分

23.解:(1)由 ? ? 4cos? 得: ? 2 ? 4?cos? ,? x2 ? y 2 ? 4x , 即 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 , 所以曲线 C 的参数方程: ?

………………2 分

? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? 2 sin ?

…………………4 分

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos? 代入圆的方程得 (t cos? ?1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 , ? y ? t sin ?
2

化简得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 . 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 , 则?

?t1 ? t 2 ? 2 cos? , ? t1t 2 ? ?3

…………………6 分

? AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4 cos2 ? ? 12 ? 14 ,
……………………10 分

? 4 cos2 ? ? 2 , cos? ? ?
24.解: (1) f ( x )

? 3? 2 ,? ? 或 . 4 4 2

? -2

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;

当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ?

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 3 3

当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x 综上,{ x | ?

?6
3

y

2 3

? x ? 6}

……………………5 分

? x ? 4, x ? ?2 ? (2) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ? ? x ? 4, x ? 1 ?
函数 f ( x ) 的图像如图所示: 令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ;

4 x

∴当- a

? 2,即 a ? -2 时成立;

…………………8 分

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

a , 2

? 2+

a ,即 a 2

? 4 时成立,
…………………10 分

综上 a

? -2 或 a ? 4。


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